В каких единицах измеряется модуль упругости

Показатель несжимаемости / устойчивости к сжимаемости вещества.

Иллюстрация равномерного сжатия

Объемный модуль упругости

( или ) вещества является мерой того , насколько устойчивым к сжатию , что вещество. Он определяется как отношение бесконечно малого увеличения давления к результирующему
относительному
уменьшению объема . [1] Другие модули описывают реакцию материала ( деформацию ) на другие виды напряжения : модуль сдвига описывает реакцию на сдвиг, а модуль Юнга описывает реакцию на линейное напряжение. Для жидкости значение имеет только модуль объемной упругости. Для сложного анизотропного твердого тела, такого как K {\ displaystyle K} B {\ displaystyle B} дерево или бумага , эти три модуля не содержат достаточно информации, чтобы описать его поведение, и необходимо использовать полный обобщенный закон Гука .

Определение [ править ]

Объемный модуль упругости можно формально определить уравнением K > 0 {\ displaystyle K> 0}

K знак равно — V d п d V {\ displaystyle K = -V {\ frac {dP} {dV}}}

где — давление, — начальный объем вещества, а обозначает производную давления по объему. Учитывая единицу массы, п {\ displaystyle P} V {\ displaystyle V} d п / d V {\ displaystyle dP / dV}

K знак равно ρ d п d ρ {\ Displaystyle К = \ ро {\ гидроразрыва {дП} {д \ ро}}}

где ρ

— начальная плотность, а d
P
/ d
ρ
обозначает производную давления по плотности (т.е. скорость изменения давления в зависимости от объема). Обратный модуль объемного сжатия дает сжимаемость вещества .

Механические свойства

Только при работе на растяжение или сжатие модуль (Юнга) упругости помогает угадать поведение того или иного материала. А вот при изгибе, срезе, смятии и прочих нагрузках потребуется ввести дополнительные параметры:

Читать также: Как проверить диод шоттки тестером

1. Жёсткостью называют произведение поперечного сечения профиля на модуль упругости. По этой величине можно судить о пластичности узла конструкции в целом, а не о материале отдельно. Единицей измерения являются килограммы силы.
2. Продольное относительное удлинение — это отношение абсолютного удлинения материала-образца к его общей длине. К примеру, на стержень, длина которого равна 200 миллиметров, приложили некоторую силу. В результате он стал короче на 5 миллиметров. В результате относительное удлинение будет равняться 0,05. Эта величина безразмерная. Для более удобного восприятия иногда её переводят в проценты.
3. Поперечное относительное удлинение рассчитывается точно так же, как и продольное относительное удлинение, но вместо длины берут диаметр стержня. Опытным путём было установлено, что для большего количества материала поперечное меньше продольного удлинения приблизительно в 4 раза.
4. Коэффициент Пуассона. Это отношения относительной продольной к относительной поперечной деформации. При помощи этой величины можно полностью описать под воздействием нагрузки изменения формы.
5. Модуль сдвига описывает упругие свойства под воздействием касательных свойств на образец. Иными словами, когда вектор силы направляется к поверхности тела под 90 градусов. Примером подобных нагрузок служит работа гвоздей на смятие, заклёпок на срез и пр. Этот параметр связан с вязкостью материала.
6. Модуль упругости объёмной характеризует изменение объёма образца для разностороннего равномерного приложения нагрузки. Эта величина является отношением давления объёмного к деформации сжатия объёмной. Как пример можно рассматривать опущенный в воду материал, на который воздействует давление жидкости по всей его площади.

Кроме всего вышесказанного стоит упомянуть, что у некоторых материалов в зависимости от направления нагрузки разные механические свойства. Подобные материалы называются анизотропными. Примерами подобного является ткани, некоторые виды камня, слоистые пластмассы, древесина и прочее.

У материалов изотропных механические свойства и деформация упругая в любом направлении одинаковы. К таким материалам относятся металлы: алюминий, медь, чугун, сталь и прочее, а также каучук, бетон, естественные камни, пластмассы неслоистые.

Термодинамическое соотношение [ править ]

Строго говоря, объемный модуль упругости является термодинамической величиной, и для того, чтобы указать объемный модуль, необходимо указать, как давление изменяется во время сжатия: постоянная температура (изотермическая ), постоянная энтропия ( изэнтропическая ) и другие варианты возможны. . Такие различия особенно актуальны для газов . K Т {\ displaystyle K_ {T}} K S {\ displaystyle K_ {S}}

Для идеального газа изэнтропический процесс имеет:

п V γ знак равно c о п s т . ⇒ п ∝ ( 1 V ) γ ∝ ρ γ , {\ Displaystyle PV ^ {\ gamma} = const. \, \ Rightarrow P \ propto \ left ({\ frac {1} {V}} \ right) ^ {\ gamma} \ propto \ rho ^ {\ gamma}, }

поэтому изоэнтропический модуль объемной упругости определяется как: K S {\ displaystyle K_ {S}}

K S знак равно γ п . {\ displaystyle K_ {S} = \ gamma P.}

Точно так же изотермический процесс идеального газа имеет:

п V знак равно c о п s т . ⇒ п ∝ 1 V ∝ ρ , {\displaystyle PV=const.\,\Rightarrow P\propto {\frac {1}{V}}\propto \rho ,}

поэтому изотермический модуль объемной упругости определяется выражением K T {\displaystyle K_{T}}

K T = P {\displaystyle K_{T}=P}

где γ

представляет собой отношение теплоемкости и
р
является давлением.

Когда газ не идеален, эти уравнения дают только приближение модуля объемного сжатия. В жидкости объемный модуль K

и плотность
ρ
определяют скорость звука
c
( волны давления ) в соответствии с формулой Ньютона-Лапласа
c = K ρ . {\displaystyle c={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}.}
В твердых телах и имеют очень похожие значения. Твердые тела также могут выдерживать поперечные волны : для этих материалов требуется один дополнительный модуль упругости , например модуль сдвига, для определения скорости волны. K S {\displaystyle K_{S}} K T {\displaystyle K_{T}}

Общее понятие

При любом внешнем воздействии на предмет, внутри его возникают встречные силы, компенсирующие внешние. Для идеальных систем, находящихся в равновесии, силы равномерно распределены и равны, что позволяет сохранить форму предмета. Реальные системы не подчиняются таким правилам, что может привести к их деформации. Оценивая прочность материалов, говорят об их упругости.

Определение модуля Юнга твердых тел
Упругие материалы – это те, которые после прекращения внешнего воздействия, восстанавливают свою первоначальную форму.

Внутренние силы распределены равномерно по всей площади поперечного сечения предмета, имеют свою интенсивность, которая выражается количественно, называется напряжением (р) и измеряется в Н/м2 или по международной системе Па.

Напряжение имеет свою пространственную направленность: перпендикулярно площади сечения предмета – нормальное напряжение (σz) и лежащая в плоскости сечения – касательное напряжение (τz).

Опыт с пружинными весами

Модуль упругости (Е) как единицу измерения отношения материала к линейной деформации, и нормальное напряжение связывает формула закона Гука:

ε = σz/E (1)

где ε – относительное удлинение или деформация.

Преобразовав формулу (1) для выражения из нее нормального напряжения, можно увидеть, что Е является постоянной при относительном удлинении, и называется коэффициентом жесткости, а его единицы измерения Па, кгс/мм2 или Н/м2:

σz = Eε (2)

Модуль упругости – это единица измерения отношения напряжения, создаваемого в материале, к линейной деформации, такой как, растяжение и сжатие.

В справочных материалах размерность модуля упругости выражается в МПа, так как деформация имеет довольно малое значение. А зависимость между этими величинами обратно пропорциональная. Таким образом, Е имеет высокое значение, определяемое 107-109.

Выбранные значения [ править ]

Приблизительный модуль объемной упругости (K) для обычных материалов

Влияние добавок выбранных стеклянных компонентов на модуль объемной упругости определенного базового стекла. [4]

Материал с объемным модулем упругости 35 ГПа теряет один процент своего объема при воздействии внешнего давления 0,35 ГПа (~3500 бар ).
Приблизительный модуль объемной упругости (K) для других веществ

Модуль упругости различных материалов

Модули упругости для различных материалов имеют совершенно разные значения, которые зависят от:

• природы веществ, формирующих состав материала;
• моно- или многокомпонентный состав (чистое вещество, сплав и так далее);
• структуры (металлическая или другой вид кристаллической решетки, молекулярное строение прочее);
• плотности материала (распределения частиц в его объеме);
• обработки, которой он подвергался (обжиг, травление, прессование и тому подобное).

Так, например, в справочных данных можно найти, что модуль упругости для алюминия составляет диапазон от 61,8 до 73,6 ГПа. Видимо, это и зависит от состояния металла и вида обработки, потому как для отожженного алюминия модуль Юнга – 68,5 ГПа.

Его значение для бронзовых материалов зависит не только от обработки, но и от химического состава:

• бронза – 10,4 ГПа;
• алюминиевая бронза при литье – 10,3 ГПа;
• фосфористая бронза катанная – 11,3 ГПа.

Модуль Юнга латуни на много ниже – 78,5-98,1. Максимальное значение имеет катанная латунь.

Сама же медь в чистом виде характеризуется сопротивлением к внешним воздействиям значительно большим, чем ее сплавы – 128,7 ГПа. Обработка ее также снижает показатель, в том числе и прокатка:

• литая – 82 ГПа;
• прокатанная – 108 ГПа;
• деформированная – 112 ГПа;
• холоднотянутая – 127 ГПа.

Близким значением к меди обладает титан (108 ГПа), который считается одним из самых прочных металлов. А вот тяжелый, но ломкий свинец, показывает всего 15,7-16,2 ГПа, что сравнимо с прочностью древесины.

Для железа показатель напряжения к деформации также зависит от метода его обработки: литое – 100-130 или кованное – 196,2-215,8 ГПа.

Чугун известен своей хрупкостью имеет отношение напряжения к деформации от 73,6 до 150 ГПа, что соответствует от его виду. Тогда как для стали модуль упругости может достигать 235 ГПа.

Модули упругости некоторых материалов

На величины параметров прочности влияют также и формы изделий. Например, для стального каната проводят расчеты, где учитывают:

• его диаметр;
• шаг свивки;
• угол свивки.

Интересно, что этот показатель для каната будет значительно ниже, чем для проволоки такого же диаметра.

Стоит отметить прочность и не металлических материалов. Например, среди модулей Юнга дерева наименьший у сосны – 8,8 ГПа, а вот у группы твердых пород, которые объединены под названием «железное дерево» самый высокий – 32,5 ГПа, дуб и бук имеют равные показатели – 16,3 ГПа.

Среди строительных материалов, сопротивление к внешним силам у, казалось бы, прочного гранита всего 35-50 ГПа, когда даже у стекла – 78 ГПа. Уступают стеклу бетон – до 40 ГПа, известняк и мрамор, со значениями 35 и 50 ГПа соответственно.

Такие гибкие материалы, как каучук и резина, выдерживают осевую нагрузку от 0,0015 до 0,0079 ГПа.

Микроскопическое происхождение [ править ]

Межатомный потенциал и линейная эластичность [ править ]

Межатомный потенциал и сила

Поскольку линейная эластичность является прямым результатом межатомного взаимодействия, она связана с растяжением / сжатием связей. Затем его можно вывести из межатомного потенциала кристаллических материалов. [5] Во-первых, давайте рассмотрим потенциальную энергию двух взаимодействующих атомов. Начиная с очень далеких точек, они почувствуют влечение друг к другу. По мере приближения друг к другу их потенциальная энергия будет уменьшаться. С другой стороны, когда два атома находятся очень близко друг к другу, их полная энергия будет очень высокой из-за отталкивающего взаимодействия. Вместе эти потенциалы гарантируют межатомное расстояние, при котором достигается минимальное энергетическое состояние. Это происходит на некотором расстоянии a 0 , где полная сила равна нулю:

F = − ∂ U ∂ r = 0 {\displaystyle F=-{\partial U \over \partial r}=0}

Где U — межатомный потенциал, а r — межатомное расстояние. Это означает, что атомы находятся в равновесии.

Для того, чтобы расширить два атома подойти в твердое тело, рассмотрит модель простой, скажем, 1-D массив одного элемента с межатомным расстоянием A A, и равновесное расстояние 0 . Его потенциальная энергия-межатомное расстояние связь имеет аналогичную форму , как и случае два атома, который достигает минимально в виде

0 , разложение в ряд Тейлора для этого является:
u ( a ) = u ( a 0 ) + ( ∂ u ∂ r ) r = a 0 ( a − a 0 ) + 1 2 ( ∂ 2 ∂ r 2 u ) r = a 0 ( a − a 0 ) 2 + O ( ( a − a 0 ) 3 ) {\displaystyle u(a)=u(a_{0})+\left({\partial u \over \partial r}\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}+O\left((a-a_{0})^{3}\right)}
В состоянии равновесия первая производная равна 0, поэтому доминирующий член — квадратичный. Когда смещение невелико, члены более высокого порядка следует опускать. Выражение становится:

u ( a ) = u ( a 0 ) + 1 2 ( ∂ 2 ∂ r 2 u ) r = a 0 ( a − a 0 ) 2 {\displaystyle u(a)=u(a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}} F ( a ) = − ∂ u ∂ r = ( ∂ 2 ∂ r 2 u ) r = a 0 ( a − a 0 ) {\displaystyle F(a)=-{\partial u \over \partial r}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})}

Это явно линейная эластичность.

Обратите внимание, что вывод выполняется с учетом двух соседних атомов, поэтому коэффициент Хука равен:

K = a 0 ∗ d F d r = a 0 ( ∂ 2 ∂ r 2 u ) r = a 0 {\displaystyle K=a_{0}*{dF \over dr}=a_{0}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}}

Эта форма может быть легко расширена до трехмерного случая с объемом на атом (Ω) вместо межатомного расстояния.

K = Ω 0 ( ∂ 2 ∂ Ω 2 u ) Ω = Ω 0 {\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)_{\Omega =\Omega _{0}}}

Связь с атомным радиусом [ править ]

Как было установлено выше, объемный модуль напрямую связан с межатомным потенциалом и объемом, приходящимся на атом. Мы можем дополнительно оценить межатомный потенциал, чтобы связать K

с другими свойствами. Обычно межатомный потенциал может быть выражен как функция расстояния, которая имеет два члена: один член для притяжения, а другой — для отталкивания.
u = − A r − n + B r − m {\displaystyle u=-Ar^{-n}+Br^{-m}}
Где A

> 0 представляет член притяжения, а
B
> 0 представляет отталкивание. n и m обычно являются целыми, а
m
обычно больше
n
, что отражает характер отталкивания на короткие расстояния. В положении равновесия
u
минимально, поэтому производная первого порядка равна 0.
( ∂ u ∂ r ) r 0 = A n r − n − 1 + − B m r − m − 1 = 0 {\displaystyle \left({\partial u \over \partial r}\right)_{r_{0}}=Anr^{-n-1}+-Bmr^{-m-1}=0} B A = n m r 0 m − n {\displaystyle {B \over A}={n \over m}r_{0}^{m-n}} u = − A r − n ( 1 − B A r n − m ) = − A r − n ( 1 − n m r 0 m − n r n − m ) {\displaystyle u=-Ar^{-n}\left(1-{B \over A}r^{n-m}\right)=-Ar^{-n}\left(1-{n \over m}r_{0}^{m-n}r^{n-m}\right)}
когда r

близко к, вспомните, что
n
(обычно от 1 до 6) меньше
m
(обычно от 9 до 12), игнорируйте второй член, оцените вторую производную
( ∂ 2 ∂ r 2 u ) r = a 0 = − A n ( n + 1 ) r 0 − n − 2 {\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}=-An(n+1)r_{0}^{-n-2}}
Напомним связь между r и Ω

Ω = 4 π 3 r 3 {\displaystyle \Omega ={4\pi \over 3}r^{3}} ( ∂ 2 ∂ Ω 2 u ) = ( ∂ 2 ∂ r 2 u ) ( ∂ r ∂ Ω ) 2 = ( ∂ 2 ∂ r 2 u ) Ω − 4 3 {\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\left({\partial r \over \partial \Omega }\right)^{2}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\Omega ^{-{\frac {4}{3}}}} K = Ω 0 ( ∂ 2 u ∂ r 2 ) Ω = Ω 0 ∝ r 0 − n − 3 {\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2}u \over \partial r^{2}}\right)_{\Omega =\Omega _{0}}\propto r_{0}^{-n-3}}

Во многих случаях, например, в металлических или ионных материалах, сила притяжения является электростатической, поэтому n

= 1, мы имеем
K ∝ r 0 − 4 {\displaystyle K\propto r_{0}^{-4}}
Это относится к атомам со схожей природой связи. Эта взаимосвязь подтверждается для щелочных металлов и многих ионных соединений. [6]

Ссылки [ править ]

1. «Объемные упругие свойства» . гиперфизика
   . Государственный университет Джорджии.
2. «Силиконовая резина» . Материалы AZO
   .
3. Страница 52 из « Введение в физику твердого тела , 8-е издание» Чарльза Киттеля, 2005, ISBN 0-471-41526-X
4. Флюгель, Александр. «Расчет объемного модуля стекол» . glassproperties.com
   .
5. Х., Кортни, Томас (2013). Механическое поведение материалов
   (2-е изд. Reimp ed.). Нью-Дели: McGraw Hill Education (Индия). ISBN 978-1259027512. OCLC 929663641 .
6. Перейти
   ↑ Gilman, JJ (1969).
   Микромеханика течения в твердых телах
   . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 29.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Де Йонг, Мартен; Чен, Вэй (2015). «Диаграмма полных упругих свойств неорганических кристаллических соединений» . Научные данные
  .
  2
  : 150009. Bibcode : 2013NatSD … 2E0009D . DOI : 10.1038 / sdata.2015.9 . PMC 4432655 . PMID 25984348 .